Teza.
Gra jest skończona.

Dowód

(a) skończoność

Wprowadźmy definicję połączenia: każda kropka posiada 8 połączeń,
to znaczy może sąsiadować z 8 innymi kropkami tworząc 'krechę'.
Powiemy, że połączenie jest wolne, jeśli nie jest wykorzystane
jako element krechy.

Wprowadźmy definicję kropki brzegowej:
kropka jest brzegowa jeżeli nie sąsiaduje z 8 kropkami.

W chwili początkowej mamy 36 kropek, a więc 36*8 = 288 wolnych
połączeń.

Dodanie dowolnej kropki zwiększa liczbę wolnych połączeń o 8.
Zauważmy jednak, że postawieniu każdej kropki musi towarzyszyć
wytyczenie krechy, zaś każda krecha wykorzystuje 8 połączeń
(po jednym od skrajnej kropki i po dwa od środkowych).

Wynika stąd, że liczba wolnych połączeń jest stała i wynosi 288.

Niech kropki tworzą pewną figurę lub figury. Każda kropka brzegowa
figury ma przynajmniej jedno wolne połączenie (istotnie, jeżeli
kropka nie ma żadnego połączenia, to musi być otoczona przez 8
innych kropek, więc nie leży na brzegu).

Ponieważ liczba wolnych połączeń jest stała, nie może być więcej
niż 288 punktów brzegowych. Figura jest ograniczona, zatem gra
jest skończona.

===
(b) granica

Figurą o największym polu przy zadanym obwodzie jest koło.
Optymalne ułożenie maksymalizujące liczbę kropek w skończonej
figurze to ułożenie kropek w kole. Promień tego koła wynosi
r=288/(2*pi). Pole koła jest równe/większe od maksymalnej
liczby kropek. Pole równe jest pi*r*r czyli supremum liczby
kropek wynosi 6601 minus początkowych 36 = 6565.
Liczba dostawionych kropek jest równa liczbie krech, stąd
liczba 6565 jest także ograniczeniem na liczbę krech.

(b') granica - ostrzejsze ograniczenie

wprowadźmy definicję zewnętrznej krawędzi figury
złożonej z kropek: jest to łamana ograniczająca obszar
zajmowany przez kropki, taka, że każda kropka leży
wewnątrz lub na boku wielokąta utworzonego przez tę łamaną.

wprowadźmy definicję punktu (kropki) z zewnętrznej krawędzi:
jest to punkt (kropka) leżący na boku wielokąta
(niekoniecznie wierzchołek)

liczba wolnych połączeń dla kropki z zewnętrznej krawędzi
jest większa lub równa ('kąt'-pi/4)/(pi/4) gdzie 'kąt'
jest kątem zewnętrznym
(uwaga 1: kiedy kropka leży w wierzchołku; dla pozostałych
punktów z zewnętrznej krawędzi 'kąt' = pi)
(uwaga 2: równość zachodzi kiedy w sąsiedztwie kropki
wewnątrz wielokąta nie ma wakatów)

liczba wolnych połączeń dla wszystkich kropek z zewnętrznych
krawędzi jest większa lub równa od sumy powyższych wyrażeń
czyli od S
S = ('kąt1'-pi/4)/(pi/4)+ ... + ('kątN'-pi/4)/(pi/4)=
  = ('kąt1'+...' 'kątN')/(pi/4) - N
gdzie N jest liczbą kropek z zewnętrznych krawędzi.

zachodzi:
S mniejsze/równe
'liczba wolnych połączeń dla kropek z zewnętrznych krawędzi' mniejsze/równe
'liczba wszystkich wolnych połączeń'
mniejsze/równe 288

korzystamy:
suma kątów zewnętrznych wieloboku ('kąt1'+...' 'kątN')= pi*(N+2)

otrzymujemy warunek na liczbę kropek z zewnętrznych krawędzi
S=4*(N+2)-N mniejsze/równe 288; to N < 280/3

maksymalizujemy pole wewnątrz wielokąta, promień koła r=N/(2*pi),
pole pi*r*r=(N*N)/(4*pi), supremum liczby kropek wynosi
694 minus początkowych 36 = 658,
liczba 658 jest ograniczeniem na liczbę krech.

Jerzy Słaby
XIV LO im Stanisława Staszica
Warszawa
===
Podziękowania dla Michała Jóźwikowskiego za pomoc w redakcji tekstu.